Korisni savjeti

Logaritmi: primjeri i rješenja

  • Materijali za lekcije
  • Preuzmite sve formule

Logaritme se, kao i sve brojeve, mogu dodati, oduzeti i pretvoriti na svaki način. No, kako logaritmi nisu baš obični brojevi, postoje pravila koja se pozivaju osnovna svojstva.

Morate znati ta pravila - nijedan ozbiljan logaritamski problem se ne može riješiti bez njih. Pored toga, vrlo je malo njih - sve se može naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Logaritam zbrajanje i oduzimanje

Razmotrite dva logaritma s istom bazom: log a x i zapisnik a y. Zatim se mogu dodati i oduzeti, štaviše:

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu proizvoda, a razlika je logaritam kvocijenta. Napominjemo: ovdje je ključna točka jednaki razlozi. Ako su razlozi različiti, ta pravila ne djeluju!

Ove će formule pomoći da se izračuna logaritamski izraz čak i kad se njegovi pojedinačni dijelovi ne broje (vidi lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Budući da su osnove logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
zapisnik6 4 + zapisnik6 9 = zapisnik6 (4 · 9) = zapisnik6 36 = 2.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
zapisnik2 48 - zapisnik2 3 = zapisnik2 (48: 3) = zapisnik2 16 = 4.

Izazov. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 - zapisnik3 5.

Ponovo su osnove iste, tako da imamo:
zapisnik3 135 - zapisnik3 5 = zapisnik3 (135: 5) = zapisnik3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi sačinjeni su od "loših" logaritama koji se ne broje odvojeno. Ali nakon transformacija dobivaju se sasvim normalni brojevi. Na toj činjenici se grade mnogi testovi. Da, kontrola - takvi izrazi ozbiljno (ponekad - gotovo nepromijenjeni) nude se na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada malo kompliciramo zadatak. Što ako postoji stupanj u osnovi ili argumentu logaritma? Tada se pokazatelj ovog stepena može izvaditi iz logaritma prema sljedećim pravilima:

  1. zapisnik a x n = n a x

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali bolje je zapamtiti sve isto - u nekim slučajevima će to značajno smanjiti količinu računanja.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla kada se promatra ODG logaritam: a> 0, a ≠ 1, x> 0. I također: naučite primijeniti sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Izazov. Pronađite vrijednost izraza: log7 49 6 .

Oslobodimo se stupnja u argumentu prvom formulom:
zapisnik7 49 6 = 67 49 = 6 · 2 = 12

Izazov. Pronađite vrijednost izraza:

[Natpis]

Imajte na umu da je nazivnik logaritam, čija su baza i argument tačni stupnjevi: 16 = 2 4, 49 = 7 2. Imamo:

[Natpis]

Mislim da je posljednjem primjeru potrebno pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do posljednjeg trenutka radimo samo sa nazivnikom. Oni su iznijeli osnovu i argument tamošnjeg logaritma u obliku stupnjeva i izveli pokazatelje - dobili su „trokatnicu“.

Sada pogledajmo glavni dio. Brojač i nazivnik imaju isti broj: zapisnik2 7. Od dnevnika2 7 ≠ 0, možemo smanjiti ulomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorica se mogu prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prelazak na novu fondaciju

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritam, posebno sam naglasio da oni rade samo na istim osnovama. Ali što ako su razlozi različiti? Što ako nisu točne moći istog broja?

Formule za prijelaz na novu fondaciju dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je logaritam dnevnika a x Tada je za bilo koji broj c takav da je c> 0 i c ≠ 1, jednakost

[Natpis]

Konkretno, ako stavimo c = x, dobićemo:

[Natpis]

Iz druge formule proizlazi da možete zamijeniti bazu i argument logaritma, ali je istovremeno cijeli izraz „okrenut“, tj. logaritam je u nazivniku.

Te se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Moguće je procijeniti koliko su one prikladne samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednakosti.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti, osim prelaskom na novi temelj. Razmotrimo nekoliko sljedećih:

Izazov. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 trupaca2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže tačne stupnjeve. Izvadit ćemo pokazatelje: log5 16 = zapisnik5 2 4 = 4log5 2, zapisnik2 25 = zapisnik2 5 2 = 2log2 5,

A sada, "prebacite" drugi logaritam:

[Natpis]

Kako se proizvod ne mijenja iz permutacije faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim shvatili logaritme.

Izazov. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni stupnjevi. To pišemo i riješimo se pokazatelja:

[Natpis]

Sada ćemo se riješiti decimalnog logaritma, prelazeći na novu bazu:

[Natpis]

Osnovni logaritamski identitet

Često se u procesu rješavanja traži da se broj predstavlja kao logaritam za određenu osnovu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

  1. n = zapisnik a a n

U prvom slučaju broj n postaje pokazatelj stupnja u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo preformirana definicija. Zove se:.

U stvari, što se događa ako je broj b podignut do te mjere da broj b u ovom stupnju daje broj a? Tačno je: to je i sam broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi na njemu "vise".

Kao i formule za prelazak na novi temelj, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Izazov. Pronađite vrijednost izraza:

[Natpis]

Imajte na umu taj dnevnik25 64 = zapisnik5 8 - upravo je s baze i argumenta logaritam napravio kvadrat. S obzirom na pravila množenja stepena s istom bazom, dobivamo:

[Natpis]

Ako neko ne zna, to je bio pravi izazov s ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

Zaključno ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima - radije, to su posljedice definicije logaritma. Stalno se nalaze u zadacima i, začudo, stvaraju probleme čak i „naprednim“ učenicima.

  1. zapisnik a a = 1 je ovo. Sjetite se jednom zauvijek: logaritam za bilo koju bazu a iz te baze je sam po sebi jednak.
  2. zapisnik a 1 = 0 je ovo. Baza a može biti bilo šta, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Jer je 0 = 1 direktna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Obavezno primijenite njihovu primjenu u praksi! Na početku lekcije preuzmite varalice, ispišite je - i riješite probleme.

Definicija iz matematike

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: zapisnikab = c, odnosno, logaritam svakog negativnog broja (to jest, bilo kojeg pozitivnog) "b" koji se temelji na njegovoj bazi "a" je stepen "c" do kojeg se mora podići baza "a" kako bi se konačno dobila vrijednost "b". Analizirajmo logaritam s primjerima, recimo da postoji zapis izraza28. Kako pronaći odgovor? Vrlo jednostavno, morate pronaći takav stupanj da od 2 do željenog stupnja dobijete 8. Nakon što ste radili neke proračune u glavi, dobivamo broj 3! I istina je, jer 2 u stepenu 3 daje broj 8 u odgovoru.

Sorte logaritmi

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini kompliciranim i nerazumljivim, ali u stvari logaritmi nisu toliko zastrašujući, glavno je razumjeti njihovo opće značenje i sjetiti se njihovih svojstava i nekih pravila. Postoje tri odvojene vrste logaritamskih izraza:

  1. Prirodni logaritam ln a, gdje je osnova Eulerov broj (e = 2,7).
  2. Decimalni logaritam je log a, gdje je baza broj 10.
  3. Logaritam bilo kojeg broja b u bazi a> 1.

Svaki od njih je riješen na standardni način, uključujući pojednostavljivanje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam koristeći logaritamske teoreme. Da bismo dobili ispravne vrijednosti logaritama, treba zapamtiti njihova svojstva i redoslijed postupaka prilikom rješavanja.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila, ograničenja, koja se prihvaćaju kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i istinita su. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve s nulom, a još je nemoguće izdvojiti korijen jednoličnog stupnja iz negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, prema kojima možete lako naučiti raditi čak i s dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

  • baza "a" uvijek treba biti veća od nule, a istodobno ne smije biti jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" uvijek u bilo kojem stupnju jednaki njihovim vrijednostima,
  • ako je a> 0, onda je b> 0, ispada da "c" mora biti veći od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, zadan je zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x = 100. Vrlo je jednostavno, trebate odabrati takav stupanj, podižući se na kojem je broj deset, dobivamo 100. To je, naravno, kvadratni stupanj! 10 2 = 100.

Sada zamislimo ovaj izraz kao logaritam. Dolazimo do dnevnika10100 = 2. Kada rješavate logaritme, sve radnje se gotovo zbližavaju da biste pronašli stupanj do kojeg trebate unijeti bazu logaritma da biste dobili zadani broj.

Da biste precizno odredili vrijednost nepoznatog stepena, morate naučiti da radite sa tablicom stepeni. To izgleda ovako:

Kao što vidite, o nekim se pokazateljima stupnja može intuitivno nagađati postoji li tehnički mentalitet i znanje tablice množenja. Međutim, za velike vrijednosti potrebna je tablica stupnjeva. Čak i oni koji uopće ništa ne razumiju u složene matematičke teme mogu to koristiti. U lijevom stupcu prikazani su brojevi (baza a), gornji red brojeva je vrijednost stupnja c na koju se podiže broj a. Na sjecištu se u ćelijama definiraju vrijednosti brojeva koji su odgovor (a c = b). Uzmimo, na primjer, prvu prvu ćeliju sa brojem 10 i uvrsti je u kvadrat, dobijemo vrijednost 100, koja je naznačena na preseku naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će razumjeti i prave ljudske znanosti!

Jednadžbe i nejednakosti

Ispada da je pod određenim uvjetima eksponent logaritam. Stoga se bilo koji matematički numerički izrazi mogu zapisati u obliku logaritamske jednakosti. Na primjer, 3 4 = 81 može se zapisati kao logaritam 81 u bazi 3, što je četiri (log381 = 4). Za negativne stepene pravila su ista: 2 -5 = 1/32 pišemo u obliku logaritma, dobivamo dnevnik2 (1/32) = -5. Jedan od najfascinantnijih dijelova matematike je tema "logaritmi". Primjere i rješenja jednadžbi ćemo razmotriti odmah ispod, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Sada pogledajmo kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednadžbi.

Izraz je dat na sljedeći način: zapisnik2(x-1)> 3 - to je logaritamska nejednakost, jer je nepoznata vrijednost "x" pod znakom logaritma. A isto tako u izrazu se uspoređuju dvije količine: logaritam željenog broja na osnovu dva veći je od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednakosti je ta što jednadžbe s logaritamima (primjer je logaritam2x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih numeričkih vrijednosti u odgovoru, dok rješavanje nejednakosti određuje i područje dopuštenih vrijednosti i točke prekida ove funkcije. Kao rezultat toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva kao u odgovoru jednadžbe, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovne teoreme logaritma

Kada rješavaju primitivne zadatke pronalaska vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda nisu poznata. Međutim, kada je u pitanju logaritamske jednadžbe ili nejednakosti, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i uvesti u prakticiranje svih osnovnih svojstava logaritmi. Kasnije ćemo se upoznati s primjerima jednadžbi, prvo ćemo detaljnije analizirati svako svojstvo.

  1. Osnovni identitet izgleda ovako: logaB = B. Primjenjuje se samo kada je a veći od 0, nije jednak, a B je veći od nule.
  2. Logaritam proizvoda može se prikazati u sljedećoj formuli: logd(s)1* s2) = zapisnikds1 + dnevnikds2. U ovom slučaju preduvjet je: d, s1 i s2 > 0 i ≠ 1. Možete dati dokaz za ovu formulu logaritmi, sa primjerima i rješenjem. Neka se prijavias1 = f1 i zapisnikas2 = f2onda je f1 = s1, a f2 = s2. Shvatamo to1* s2 = a f1 * a f2 = f1 + f2 (svojstva stupnjeva), a zatim po definiciji: loga(s)1* s2) = f1+ f2 = zapisnikas1 + zapisnikas2, kao što je potrebno za dokazivanje.
  3. Logaritam privatnika izgleda ovako: zapisnika(s)1/s2) = zapisnikas1- zapisnikas2.
  4. Teorema u obliku formule ima sljedeći oblik: loga q b n = n / q dnevnikab.

Ova se formula naziva "svojstvom stepena logaritma". Liči na svojstva običnih stupnjeva, pa ne čudi, jer se sva matematika temelji na redovnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka se prijaviab = t, ispada a t = b. Ako su oba dijela podignuta na snagu m: a tn = b n,

ali budući da je tn = (a q) nt / q = b n, stoga, zapisnika q b n = (n * t) / t, a zatim zapisnika q b n = n / q dnevnikab. Teorema je dokazana.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi problema na temu logaritmi su primjeri jednadžbi i nejednakosti. Oni se nalaze u gotovo svim problematičnim knjigama, a također su uključeni u potrebni dio ispita iz matematike. Da biste upisali univerzitet ili polagali prijemne ispite iz matematike, morate znati kako pravilno riješiti takve probleme.

Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i utvrđivanje nepoznate vrijednosti logaritma, međutim, na svaku se matematičku nejednakost ili logaritamsku jednadžbu mogu primijeniti određena pravila. Prije svega, morate saznati je li moguće pojednostaviti izraz ili dovesti do općeg prikaza. Dugi logaritamski izrazi mogu se pojednostaviti ako se njihova svojstva pravilno koriste. Upoznajmo ih uskoro.

Pri rješavanju logaritamskih jednadžbi potrebno je utvrditi koja je vrsta logaritma pred nama: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalku.

Evo primjera decimalnih logaritama: ln100, ln1026. Njihovo se rješenje svodi na činjenicu da je potrebno odrediti stupanj do kojeg će baza 10 biti jednaka 100, odnosno 1026. Za rješenja prirodnih logaritama potrebno je primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema raznih vrsta.

Kako se koriste logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja osnovnih teorema o logaritmima.

  1. Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima u kojima je potrebno dekomponirati veliku vrijednost broja b na jednostavnije faktore. Na primjer, zapisnik24 + zapisnik2128 = zapisnik2(4 * 128) = zapisnik2512. Odgovor je 9.
  2. zapisnik48 = zapisnik2 2 2 3 = 3/2 zapisnika22 = 1,5 - kao što vidite, pomoću četvrtog svojstva stupnja logaritma, bilo je moguće na prvi pogled riješiti složen i nerešiv izraz. Potrebno je samo faktoritirati osnovu i zatim izvesti znak iz znaka logaritma.

Zadaci sa ispita

Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, posebno je puno logaritamskih problema na ispitu (državni ispit za sve maturante). Ti zadaci su obično prisutni ne samo u delu A (najlakši testni deo ispita), već i u delu C (najteži i obimniji zadaci). Ispit podrazumijeva tačno i savršeno znanje o temi „Prirodni logaritmi“.

Primjeri i rješenja problema uzimaju se sa službenih ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Dano zapisnik2(2x-1) = 4. Rješenje:
prepisati izraz pojednostavljivanjem malog dnevnika2(2x-1) = 2 2, definicijom logaritma dobivamo da je 2x-1 = 2 4, dakle 2x = 17, x = 8.5.

Ispod je nekoliko preporuka, nakon kojih lako možete riješiti sve jednadžbe koje sadrže izraze pod znakom logaritma.

  • Svi logaritmi najbolje se svode na istu podlogu, tako da rješenje nije nezgrapno i zbunjujuće.
  • Čitav izraz pod znakom logaritma označen je kao pozitivan, stoga, kada faktor čini eksponent izraza, koji stoji pod logaritamom i kao njegovom osnovom, izraz koji ostaje pod logaritamom treba biti pozitivan.

Pogledajte video: Logaritamska funkcija i njena svojstva 01 ft Filip Kurelac (Decembar 2019).